HYDRAULIQUE EN GENERAL

L’hydraulique est une des activités les plus anciennes de la civilisation humaine, puisqu’elle commande toutes les utilisations de l’eau.

Dès l’Antiquité, on retrouve les traces d’ouvrages hydrauliques (canaux d’assainissement de la vallée du Nil, 4 000 ans avant l’ère chrétienne). Mais jusqu’à la Renaissance et la clarification des principes élémentaires de la mécanique, cette activité est demeurée un art sans bases scientifiques. Cela n’a pas empêché les anciens constructeurs d’édifier des ouvrages admirables tels que les aqueducs romains ou, sous l’impulsion de Louis XIV à Versailles, la célèbre machine de Marly.

Le développement ultérieur de l’hydraulique repose essentiellement sur l’amélioration des outils mathématiques et sur les notions de mécanique qui prirent un large essor au XVIIe siècle. Pascal (1623-1662) apporta ainsi une très importante contribution à l’hydraulique en donnant sa forme définitive à la théorie de l’hydrostatique. Daniel Bernoulli (1700-1782), dans son ouvrage Hydrodynamica , passe en revue la plupart des problèmes hydrauliques de l’époque. On lui doit le célèbre «théorème de Bernoulli» qui est constamment utilisé dans cette science.

Du XVIIe au XXe siècle, le développement de l’hydraulique accompagne alors le progrès général des sciences et des techniques, avec les contributions magistrales de Léonhard Euler (1707-1783), Louis de Lagrange (1736-1813), Pierre du Buat (1734-1809), Jean-Louis Marie Poiseuille (1799-1869), Adhémar Barré de Saint-Venant (1797-1886), William Froude (1818-1879), Henri Navier (1785-1836), Joseph Boussinesq (1842-1929), Osborne Reynolds (1842-1912), pour ne citer que quelques-uns des principaux fondateurs de l’hydraulique moderne.

Cette science maintenant étend ses frontières au-delà de son domaine traditionnel. La recherche hydraulique se développe très largement dans des laboratoires industriels ou universitaires. Aux outils traditionnels tels que les essais sur modèles réduits, sont venues s’ajouter les techniques de simulation numérique sur ordinateur, et aussi toutes les possibilités de l’électronique et de la microélectronique qui permettent d’acquérir et de traiter des quantités sans cesse croissantes de données expérimentales.

L’hydraulique aborde dès lors des domaines de plus en plus complexes, parmi lesquels on peut citer l’étude approfondie des ondes de surface (marées, déferlement des vagues, etc.), la détermination des champs tridimensionnels de vitesses (écoulements dans les cuves de réacteurs nucléaires), la turbulence en écoulements diphasiques (transport et dépôt des particules solides en suspension).

1. Les domaines de l’hydraulique

L’hydraulique, c’est-à-dire la science de l’écoulement de l’eau, ou plus généralement des liquides, est utilisée dans de nombreux domaines, la plupart du temps concurremment avec d’autres techniques (résistance des matériaux, mécanique des sols, géologie, météorologie, etc.).

– Les aménagements hydroélectriques : avec le charbon, la houille blanche a joué un rôle essentiel dans la révolution industrielle de la fin du XIXe siècle. La crise énergétique n’a pu être surmontée qu’en développant à la fois les trois ressources naturelles essentielles: le charbon, le nucléaire et l’hydraulique. Cette dernière présente l’avantage d’être une énergie parfaitement renouvelable. On estime que sa contribution au bilan énergétique mondial s’élèvera à 3 000 milliards de kWh en l’an 2000, cet accroissement se réalisant, pour la plus grande part, dans les pays d’Afrique et d’Amérique du Sud. Les aménagements hydroélectriques posent des problèmes hydrauliques divers. Ils concernent les prises d’eau, les barrages, les vannes, les conduites et galeries d’amenée ou de fuite, les cheminées d’équilibre, les évacuateurs de crues, etc.

– L’hydraulique fluviale  a pour objet l’étude de l’écoulement des crues et la protection contre les inondations (certains fleuves comme le Gange, l’Amazone, échappent encore totalement à la maîtrise de l’homme et continuent à défier la technique). Elle intervient dans l’étude des canaux de navigation, le calibrage des rivières pour la protection des berges et le maintien d’un chenal navigable, l’étude des ouvrages de navigation intérieure (barrages, écluses).

– L’hydraulique maritime  doit envisager la protection des ports contre la houle, l’étude de la stabilité des digues et des jetées, la lutte contre l’érosion des plages, l’ensablement des entrées de ports, l’envasement des bassins et l’étude des courants de marée.

– L’hydraulique urbaine  vise à fournir de l’eau aux villes et à évacuer les eaux usées, elle exige de résoudre de nombreux problèmes d’hydraulique qui vont de la recherche de l’eau (puits, captages, prises en rivière, etc.), à l’adduction d’eau (conduites, aqueducs, canaux), à l’épuration et au traitement des eaux, à la distribution d’eau (stations de pompage, comptage), à l’évacuation (réseaux d’égouts) et au traitement des eaux usées.

– L’hydraulique agricole  consiste à fournir de l’eau pour les cultures et suppose la recherche et la captation de l’eau (cf. supra ), son stockage (barrages pour l’irrigation), sa distribution (canaux, pompage, comptage), son utilisation (ruissellement, aspersion, submersion...) et le réglage du niveau de la nappe phréatique (drainage, recharges).

– L’hydraulique souterraine  fait partie d’un domaine plus vaste, constitué par l’étude générale des fluides dans les milieux poreux. Les applications sont très nombreuses. Citons entre autres: les écoulements de nappes souterraines, les bilans hydrologiques, l’étude des puits et des forages, l’infiltration sous les ouvrages, la stabilité des digues en terre, l’irrigation et le drainage, la diffusion de la pollution dans les nappes souterraines.

– Les commandes hydrauliques  : il s’agit là d’une technique qui concerne la transmission d’énergie par le moyen de liquides appelés «liquides hydrauliques» (freins hydrauliques, servo-commandes hydrauliques, etc.). L’hydraulique y intervient pour le calcul des pertes de charge dans les canalisations, mais les problèmes y sont surtout de nature technologique (dispositifs de distribution, pompes à huile, etc.).

2. Écoulement des fluides et théorèmes généraux

Les lois de la mécanique d’un corps solide s’obtiennent en intégrant dans le volume occupé par ce corps les lois de la mécanique du point matériel.

D’une manière identique, les lois de l’hydraulique utilisées dans la pratique par les ingénieurs s’obtiennent en intégrant d’une manière exacte ou approchée les lois décrivant le mouvement d’un petit élément de volume fluide.

Alors que dans un solide la position relative des différents points matériels composant ce solide est invariable, dans un liquide chaque élément de volume est animé d’un mouvement qui diffère de celui des éléments voisins, de sorte que le fluide peut se déformer au cours de son mouvement. Les interactions qui résultent de ces mouvements relatifs sont des forces de surface appelées forces de pression lorsqu’elles agissent dans la direction normale à la surface considérée, et forces de frottement lorsqu’elles agissent tangentiellement à cette surface.

En hydraulique, les forces de frottement par unité de surface, c’est-à-dire les contraintes tangentielles, sont proportionnelles aux vitesses de déformation:

 
Le coefficient de proportionnalité m s’appelle le coefficient de viscosité dynamique du fluide.

Résoudre un problème d’hydraulique consiste le plus souvent à répondre à la question: que se passe-t-il en un point donné de l’espace occupé par un fluide en mouvement? Cette méthode de résolution donne, en un point P(x , y, z ) quelconque du domaine occupé par le fluide, le vecteur vitesse V(P,t ) de composantes u , v, w  et la pression p (P, t ).

Les quatre équations fondamentales qui permettent, en hydraulique, de déterminer les quatre inconnues u , v, w  et p  sont fournies par la condition de continuité (une équation scalaire traduisant la conservation de la masse) et par le principe de conservation de la quantité de mouvement (une équation vectorielle).

En précisant convenablement les conditions aux limites à satisfaire (condition à la surface libre d’un écoulement, conditions le long d’une paroi solide, etc.) on parvient dans certains cas à obtenir des solutions particulières aux équations générales décrites ci-dessus.

L’approche la plus puissante consiste à résoudre numériquement ces systèmes d’équations aux dérivées partielles par des méthodes qui utilisent des discrétisations en différences finies ou en éléments finis et en mettant à profit les capacités et les vitesses de calcul sans cesse croissantes des ordinateurs pour utiliser des algorithmes de résolution extrêmement performants.

Si on intègre l’équation différentielle du mouvement le long d’une courbe (C) ou dans un volume (D), on obtiendra une relation générale entre deux grandeurs inconnues, la vitesse V et la pression p .

Dans le cas du mouvement d’un fluide parfait (c’est-à-dire dépourvu de viscosité), irrotationnel (dont aucune particule n’est animée d’un mouvement élémentaire de rotation), et permanent (indépendant du temps), cette relation revêt la forme simple suivante:

V*V / 2*g +p /rg +z=constante 

  Cette relation est connue sous le nom de théorème de Bernoulli. Elle exprime que la quantité totale d’énergie contenue par unité de poids de fluide est invariable (en l’absence de mécanisme de dissipation) et peut seulement revêtir des formes différentes: énergie potentielle (z ), énergie de pression (p /rg ), et énergie cinétique (V2/2 g ), avec tous les transferts possibles entre ces trois formes, mais à bilan global constant.

Les applications de l’équation de Bernoulli sont extrêmement nombreuses en hydraulique. On en déduit directement la formule de Torricelli V = 2g H donnant la vitesse d’écoulement par un orifice sous une hauteur d’eau H. Le venturi, dispositif servant à mesurer les débits dans les conduites, est également une application directe de l’équation de Bernoulli, de même que les diffuseurs placés à la sortie des turbines pour la récupération de l’énergie cinétique.

Un autre théorème fondamental extrêmement important en hydraulique est le théorème des quantités de mouvement, ou théorème d’Euler.

Pour appliquer le théorème des quantités de mouvement à un fluide en mouvement permanent, on choisit une surface fermée de référence (S) et on écrit que le débit de quantité de mouvement (débit en masse Z vitesse) sortant de (S) est égal à la somme des forces extérieures agissant sur le fluide contenu dans (S).

Parmi les applications classiques de ce théorème, on peut citer le calcul de la force exercée par un jet sur un obstacle (F=rQV), la détermination du coefficient de contraction d’un orifice à la Borda (a = 0,5), le calcul de la perte de charge due à un élargissement brusque (H = (V1 _ V2)2/2g ), etc.

3. Divers types d’écoulement

La viscosité de l’eau étant faible (à 20 0C, = 0,001 N.s/m2), on peut souvent en première approximation négliger les forces de frottement qui en résultent. C’est l’hypothèse dite du fluide parfait.

Dans certains cas, au contraire, la viscosité prend une importance prépondérante. Les écoulements correspondants sont les écoulements laminaires. La viscosité est prépondérante également dans les écoulements de filtration (écoulement de l’eau dans les sols). On peut apprécier l’importance relative des forces de viscosité, par rapport aux autres forces en jeu, en introduisant un nombre sans dimension R, qui est le rapport des forces d’inertie aux forces de viscosité; R est appelé le nombre de Reynolds. Il se calcule à partir de la connaissance d’une vitesse V caractéristique de l’écoulement, d’une dimension L également caractéristique de l’écoulement, et du coefficient de viscosité dynamique m (ou du coefficient de viscosité cinématique n):

  (R=ro V L / mu)

  ou encore  

Si R est nettement inférieur à une valeur critique Rcr=2200, l’écoulement est laminaire. Les tourbillons engendrés par les obstacles et les freinages visqueux aux parois, au contact desquelles la vitesse est nulle, arrivent la plupart du temps à créer dans l’écoulement un régime fluctuant appelé régime turbulent. Les vitesses et les pressions y fluctuent de manière aléatoire autour de valeurs moyennes. C’est ce type d’écoulement que l’on rencontre le plus souvent en pratique. Le nombre de Reynolds correspondant y est nettement supérieur à la valeur critique Rcr (le plus souvent de plusieurs ordres de grandeur). La pratique industrielle fait rencontrer encore d’autres types d’écoulements (écoulements diphasiques gaz-liquide ou solide-liquide, écoulements stratifiés avec courants de densité, etc.).

– Écoulements à potentiel : les écoulements originaires d’une zone en équilibre sont à potentiel dans la région où les perturbations dues à des parois ou à des obstacles ne se   
font pas sentir. Les vitesses dérivent d’un potentiel (V = grad W) et l’écoulement est irrotationnel (Rot V = 0).

Les méthodes d’études des écoulements à potentiel peuvent être mathématiques (fonctions analytiques), ou graphiques (tracés de Prasil) ou encore analogiques (cuves rhéoélectriques).

Parmi les applications importantes des écoulements laminaires, il faut citer la lubrification des paliers et la viscosimétrie. – Écoulements   turbulents  : dans ces écoulements, les vitesses sont sujettes à des fluctuations autour de leurs valeurs moyennes. Ils ne peuvent donc être permanents qu’en moyenne seulement. À chaque instant, le vecteur-vitesse V est la somme d’une vitesse moyenne _V et d’une fluctuation turbulente v(t ) dont la moyenne dans le temps est nulle. Cette fluctuation v a trois composantes vx , vy , vz , dont les amplitudes sont caractérisées par leurs valeurs quadratiques moyennes vx 2, vy 2, vz 2.

La turbulence est dite isotrope si, en chaque point, ces trois valeurs sont égales entre elles. Elle est dite homogène si elles ont la même valeur en tous les points de l’écoulement.

Les variations dans le temps de ces composantes ont un caractère aléatoire. On peut les caractériser par des spectres continus de fréquences, allant de quelques Hz à quelques milliers de Hz. Ces fluctuations sont dues à des tourbillons dont la taille est très variable.

L’étude de la turbulence et de ses mécanismes de génération a été longtemps limitée au seul aspect expérimental, lequel présente du reste de nombreuses difficultés. Depuis l’existence de très puissants ordinateurs vectoriels permet de concevoir la simulation numérique d’écoulements turbulents. Les schémas de développement de tourbillons ainsi testés permettront de mieux comprendre les transferts d’énergie entre structures de différentes échelles.

– Écoulements en couche limite : au voisinage d’une paroi, le fait que la vitesse soit nulle à la paroi crée un fort gradient de vitesse dans une zone appelée couche limite, qui peut être laminaire ou turbulente, et dont l’épaisseur caractérise la dimension de la zone intéressée. Si l’on introduit le nombre de Reynolds R = V e x /n, x  étant la distance comptée vers l’aval de l’écoulement sur une plaque plane, à partir du bord d’attaque de la plaque, l’analyse dimensionnelle montre que l’épaisseur d de la couche limite à l’abscisse x  doit être telle que: d/ x  = f  (R).

L’expérience et le calcul révèlent que, si l’on part du bord d’attaque, la couche limite, d’abord laminaire, se développe et devient turbulente pour une valeur de R comprise entre 105 et 106. L’épaisseur relative de la couche limite laminaire est donnée par: d/x  = 5 R_1/2.

Les phénomènes de couche limite sont essentiels dans la compréhension des échanges thermiques entre fluides et parois solides (échangeurs de chaleur).

4. Écoulements en conduites et à surface libre

Les problèmes d’écoulements en conduites se posent dans de nombreuses activités industrielles (distribution d’eau, usines hydro-électriques, irrigation, pipe-lines, etc.).

Pour transporter un débit Q sur une certaine distance, il faut déterminer les caractéristiques de la conduite par un calcul économique tenant compte de sa résistance mécanique, de la pression du fluide et des pertes de charge linéairement réparties ou localisées.

Les pertes de charges linéairement réparties se calculent (dans le cas des conduites circulaires rectilignes) à l’aide de la formule dite universelle:

 H: perte de charge en hauteur du fluide qui s’écoule.
V: vitesse moyenne de l’écoulement.
D: diamètre de la conduite.
g : accélération de la pesanteur.
l: coefficient sans dimension fonction du nombre de Reynolds de l’écoulement et de la rugosité de la conduite.

Le coefficient de perte de charge peut être calculé à l’aide de formules empiriques ou déterminé à l’aide du diagramme de Moody .

Les écoulements en canal ou en rivière sont à surface libre. La force motrice de ces écoulements est la pesanteur. Selon leurs caractéristiques, on distingue les écoulements uniformes, graduellement variés et rapidement variés.

– Les écoulements uniformes.  Les caractéristiques de l’écoulement (tirant d’eau, section mouillée, périmètre mouillé, etc.) ne varient pas d’une section à l’autre. La surface libre a même pente i  que le fond. La perte de charge H sur un parcours L est H = Li .

Le débit se calcule par des formules empiriques telles que la formule de Chezy V = C RHi  ou la formule de Strickler V = K RH2/3i 1/2 (dans chacune de ces formules, V désigne la vitesse moyenne de l’écoulement en m/s, RH le rayon hydraulique – c’est-à-dire le quotient de la surface mouillée par le périmètre mouillé – en m, i  la pente du radier et C ou K des coefficients empiriques qui ne sont pas sans dimensions).

– Les écoulements graduellement variés.  Les caractéristiques de l’écoulement varient très lentement en fonction de l’abscisse x  le long du canal ou de la rivière. Les méthodes d’étude consistent toutes à remplacer le canal par une succession de tronçons prismatiques dans chacun desquels on admet que l’écoulement est uniforme. Parmi ces méthodes, qui ont pour objet le calcul de la position de la surface libre (ou courbe de remous), il faut citer celles de Bresse et de Bakhmeteff.

– Les écoulements rapidement variés.  Lorsque les courbures des filets liquides sont importantes, l’écoulement est dit rapidement varié. C’est le cas lors du franchissement de seuils ou de déversoirs, ou lors de variations soudaines de profondeur donnant lieu au phénomène de ressaut hydraulique. Les méthodes précédentes deviennent alors inapplicables.

5. Études sur modèles réduits, mesures hydrauliques

Le modèle réduit physique est souvent le seul moyen de résoudre un problème d’écoulement impossible à étudier par le calcul. Il en est ainsi pour la mise au point d’ouvrages tels que les évacuateurs de crues, les dissipateurs d’énergie, les barrages et prises d’eau en rivière, etc.

Les forces agissant sur les fluides et le corps en contact avec eux sont principalement dues à l’inertie, à la pesanteur, à la viscosité et à la capillarité. On doit, dans un modèle, conserver les rapports entre les diverses catégories importantes de forces. En général, il est impossible de réaliser une similitude permettant la représentation simultanée de plus de deux types de forces.

Dans la similitude de Froude, on conserve dans le même rapport les forces de pesanteur et d’inertie. On obtient ce résultat en réalisant un même nombre de Froude V/g D sur le modèle et dans la nature. Ceci nécessite souvent d’introduire une distorsion dans le modèle (échelles horizontales et verticales différentes).

Dans la similitude de Reynolds, on conserve dans le même rapport les forces d’inertie et les forces de viscosité. Les nombres de Reynolds homologues VD/n doivent alors être les mêmes sur le modèle et dans la nature. Pour y parvenir, on peut être amené à étudier des phénomènes hydrauliques au moyen de modèles à écoulement d’air (ou inversement).

Beaucoup des domaines traditionnellement réservés aux modèles physiques sont maintenant accessibles aux modèles mathématiques. C’est notamment le cas en hydraulique maritime des problèmes de protection des ports contre la houle, de propagation de la marée dans les estuaires, et même de comportement des fonds mobiles (sables et vases) soumis à l’action des courants et des vagues. Il ne convient pas cependant de croire à une réelle concurrence entre les deux techniques. Elles sont beaucoup plus complémentaires que concurrentes. Par ailleurs, les modèles réduits utilisent eux aussi des ordinateurs, tant pour assurer leur réglage et leur conduite automatique que pour la collecte des informations qu’ils recèlent.

Les grandeurs que l’on a le plus fréquemment à mesurer en hydraulique sont les niveaux liquides, les pressions, les vitesses et les débits.

Les niveaux sont mesurés à l’aide d’échelles limnimétriques, de limnigraphes à pointe vibrante, de détecteurs à capacité, de sondeurs à ultrasons.

Les pressions statiques et dynamiques sont mesurées à l’aide de manomètres à liquides et de capteurs de pression traduisant un microdéplacement en un signal électrique.

Pour la mesure des vitesses d’écoulement, on dispose de moulinets (hélices à axe parallèle à la vitesse), de tubes de Pitot, d’anémomètres à fil chaud, ou d’anémomètres laser à effet Doppler.

Enfin la mesure des débits utilise les déversoirs, les venturis, tuyères, diaphragmes, les rotamètres, ou les débitmètres électromagnétiques ou à ultrasons.

L’hydraulique moderne recouvre un vaste domaine de connaissances à la fois théoriques et pratiques qui constituent, pour tout ce qui touche le mouvement de l’eau, ce qu’il est convenu d’appeler «l’art de l’ingénieur».

Pendant longtemps on a distingué d’une part, l’hydrodynamique (cf. mécanique des FLUIDES), branche des mathématiques appliquées et, d’autre part, l’hydraulique. Cette distinction, due aux différences dans l’approche et la résolution des problèmes, est de moins en moins justifiée. L’hydraulique a, en effet, cessé d’être seulement une science de formules empiriques et de coefficients.

L’essor des techniques numériques mises en œuvre sur des ordinateurs sans cesse plus puissants et plus nombreux permet aux ingénieurs hydrauliciens d’aujourd’hui d’apporter, à la résolution de problèmes concrets, la rigueur mathématique qui était naguère réservée à l’hydrodynamique classique.

Cette harmonisation, de même que la complémentarité de plus en plus grande qui existe entre techniques numériques et techniques physiques de laboratoire, est sans doute le trait essentiel de l’hydraulique de la fin du XXe siècle.

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