SORT DE  L ÉNERGIE CINÉTIQUE DANS LES ROUES PAR GRAVITE

Avec nos notations habituelles 
L'eau entre avec une vitesse V1 plus ou moins grande (présence d'un tête d'eau , absence de tête)
et en sort au point bas avec une vitesse V2 qui est égale à la vitesse d' entraînement U2 puisque la vitesse relative dans l'auget est nulle

Comme nous ne considérerons ici qu'un seul triangle de vitesses , nous prendrons les notations   le plus souvent sans indice  : V ,U ,W 

Toute roue possédant des augets et grâce auxquels l'eau agit par gravité possède les caractéristiques communes suivantes

A l'entrée
La vitesse de l'eau passe d'une valeur V , celle du jet , à la valeur W (vitesse relative) 
Comme le fluide ne peut pas quitter l'auget c'est à dire l'aube ,le théorème d'Euler est inapplicable , il n'y a donc aucun couple calculable , transmis mécaniquement à la roue 
Le choc de W contre l'aube se termine par W = 0 , l énergie est finalement totalement perdue en tourbillons mais un certain couple a pu être transmis à la roue mais il s'agit d'un choc erratique incalculable

la perte d'énergie cinétique est    W^2/(2g) 

Les aubes en plusieurs parties devraient dans l'esprit de beaucoup d'exploitants récupérer une plus grande partie du choc
 (Par exemple roue de coté modifiée type Bélanger , voir le dessin de cette roue dans la page réservée à cette roue)

L'énergie  cinétique de l'eau bloquée dans l ' auget est fonction de U^2/(2g) mais une partie de cette énergie a été empruntée à la roue !!!

Finalement nous avons adopté ci dessous une autre méthode de calcul purement cinématique
Cette méthode ne tient nullement compte de la géométrie de l'auget
Ainsi un auget en bois en 2 pièces ne sera pas moins performant qu'un auget courbe métallique , sauf évidemment la variation du volume utile et la recherche d 'un déversement aussi retardé que possible

En fait l'eau apporte en entrant une certaine quantité de mouvement qui est indépendante de la forme de l'auget  , n'en déplaise aux illusions de ceux qui s'imaginent le contraire

Il y a donc augmentation du moment cinétique dans la mesure ou les impulsions sont quasi perpendiculaires au rayon correspondant de la roue

A la sortie
En quittant la roue il n'y a pas de perte de la quantité de mouvement car l'eau tombe sous le seul effet du champ de pesanteur , il n'y a pas de réaction sur la roue

La perte d'énergie cinétique est   U^2/(2g)

CALCUL COMPLET DES PERTES CINETIQUES

Nous nous limiterons donc à l'étude proposée en mode cinétique
Cette méthode a été utilisée dans plusieurs ouvrages assez anciens

Les pertes entrée comme déjà dit sont celles dues à  l'arrêt brusque de W et par  tourbillons dus à ce  choc contre la fonçure et les aubes

Soit pertes_entrée  = W^2/(2g) 

A la sortie
L'eau sort avec la vitesse U2 = U  et emporte l'énergie correspondante

pertes_sortie  =  U^2/(2g) 

pertes_totales = pertes_entrée + pertes_sortie 

Ces pertes ne concernent que la variation d'énergie cinétique , sans compter les autres

CALCUL DE LA PART D ÉNERGIE DE  L EAU ENTRANTE TRANSFORMÉE EN TRAVAIL UTILE

Considérons l équation classique concernant le triangle des vitesses d'entrée 
(Cette équation n'est autre qu'une relation classique des triangles quelconques)

W^2 = U^2 + V^2 -2 U V cos (a)
 a étant toujours l'angle d'entré de l'eau (angle des vecteurs V et U)
Posons m = U/V  , c'est le rapport de la vitesse périphérique à la vitesse de l'eau entrante

En négligeant pour le moment le facteur 1/2g
le calcul donne rapidement pour ces pertes :
W^2  + U^2 = V^2 (1 + 2 m^2 - 2m cos ( a ) 
Toute l'énergie n'a donc pas été perdue

Il reste la différence entre V^2 et l'expression ci dessus
On calcule facilement par  différence :
Energie mécanique récupérée = Er = 2  m V^2 ( cos ( a ) - m)

Si on fait varier m ,  a étant constant,  la valeur maximale de cette expression sera obtenu piur 
m = (cos ( a ))/2
Pour le vérifier il suffit avec peu de maths de rechercher le maximum de la relation fonction de m ( prendre la dérivée dEr / dm )

Exemple  a = 16 degrés    m = (cos ( a ))/2  = 0.48
2  m (cos ( a ) - m) = 0.46
La roue récupère 46% de V^2 / 2g

Cet exemple correspond au maximum de rendement possible 

Si on recherche au contraire le maximum de vitesse pour la roue , il faut abandonner toute idée de  récupération  ce qui a lieu  pour  m = cos ( a ) 

 Alors il n'y aucune récupération : toute l'énergie de mise en vitesse est perdue mais la vitesse U est maximale

C'est  le cas souvent des roues de coté , dans lesquelles l' angle a   a une valeur voisine de 30 degrés , si on veut une roue qui tourne vite on peut être amené à prendre
 une grande valeur de m  , soit pour  a  = 30 : m =  cos ( a ) =.0.87 

Comme les roues de coté sont généralement alimentées par une lame déversante la vitesse V est faible et l'énergie  cinétique est faible : on peut donc la "sacrifier"

Résumons dans un tableau les résultats caractéristiques de la valeur résiduelle utile de l'énergie cinétique entrante , valable  pour les roues par gravité

Des valeurs intermédiaires sont évidemment permises

Dans cette étude bien  entendu , les autres pertes (fuites, déversement anticipé , augets non remplis, ...) ne sont pas prises en considération

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