Similitude géométrique

Supposons que nous réalisions un modèle réduit de notre projet de roue en dessus avec tête d'eau, par exemple à l'échelle de 1/25ème

Les vitesses seront réduites dans le rapport de racine carrée de (1/25) soit 1/5 dans notre cas particulier

On calcule facilement tous les taux de réduction en remarquant que la roue doit tourner à une vitesse telle que sa vitesse circonférentielle soit respectée soit :
D1 * N1 =5 * D2 * N2 avec D2 =  D1 / 25  soit N2 = 5 * N1
Le débit est réduit dans le rapport 1/5 pour la vitesse de l'eau et 1/625 pour la section du jet , soit 1/3125 
La puissance est réduite dans le rapport 1/78125
D'une manière plus générale et plus mathématique , soit k le rapport des dimensions linéaires .

Nous partons cette fois dans le sens inverse : k est le rapport entre la grande roue et le modèle

Le tableau ci dessous donne la variation différents des paramètres

Dimensions et Hauteur de chute Vitesse linéaire Débit P Vitesse rotation    
              k  k^0.5 k^1.5        
             


Nous allons définir le terme N$ qui sera pour nous un terme nouveau ; c'est la vitesse spécifique définie par Ns= N * (racine de P en CV) / (H élevé à la puissance 1.25)  Voir note(1)
Le Ns caractérise des roues géométriquement semblables 

La vitesse spécifique (Ns) devient 
(5 * racine(1/78125))/(1/25)^(1.25) soit tous calculs faits  :  1 !!
La vitesse spécifique est. inchangée

On aboutit au tableau suivant

H mètres Débit l/sec P en CV P en watts Diamètre (cm) T/min Ns  t/min
réelle 5.20 360 24.9 18364 450 7.5 4.785
modèle 0.208 0.1152 0.0003186 0.234 18 37.5 4.785

Notre modèle a une puissance bien faible !

Cette vitesse spécifique est invariable pour un type de roue déterminé ; dans le cas d'une roue de moulin cette vitesse est faible ce qui traduit une insuffisance technique.....mais  conservons notre admiration pour ces machines du passé !

Note : Nous avons dans les 2 cas calculé le Ns d'une machine ayant un  rendement 1 , ce qui est erroné mais ne change aps notre raisonnement.

Avec une roue de rendement 0.65 le Ns pour notre exemple est de 3.33

Celui qui voudrait fabriquer une roue et qui aurait du temps à y consacrer pourrait d'abord en faire un modèle  réduit ., mais un peu plus grand
Sinon les pertes par frottement deviendront prépondérantes.

Cette formule aurait l'avantage d'une grande sécurisation ; il n'est pas difficile de fabrique un petit canal en contreplaqué marine plus une cuve de récupération et  de faire circuler l'eau avec une petite pompe ...avis aux bricoleurs

Nous allons voir ci après que les turbines s'adaptent merveilleusement à différentes formes de géométries , ce qui n'est pas le cas des roues.

Comme dit par ailleurs , le diamètre d'une roue est lié à la hauteur de la chute ; dans le cas des turbines , ce lien est beaucoup plus lâche.
Par contre modifier la largeur d'une roue est moyen de l'adapter au débit d'une chute.
En doublant la largeur , on double le débit  , donc la puissance
Le Ns sera multiplié par racine(2)


CAS DES TURBINES

La roue Pelton  est une roue à faible vitesse spécifique , (comprise entre 5  et 35) et pourtant elle tourne vite généralement : c'est qu'elle est utilisée sous de hautes chutes.
Nous verrons qu'on arrive à des conclusions surprenantes : une roue à grande vitesse spécifique tourne souvent lentement : mais c'est une roue de basse chute .
Nous voyons apparaître une certaine qualité de l'énergie !
Certes , un chute de 1000 mètres débitant 600 litres/s a la même puissance qu'une chute de 10 mètres débitant 60000  litres/s , mais les machines ne seront pas les mêmes.

Dans le premier cas nous aurons une machine légère , rapide , avec un Ns relativement faible et dans le second une machine lourde et lente .

Ayons la curiosité d'approfondir notre exemple.
Avec un rendement estimé à 85% , nos 2 chutes ont chacune une puissance effective de 5000 KW
ou encore 6800 CV ce que l'on vérifiera facilement avec le formulaire

Pour la haute chute .
Essayons de tourner à 1500 t/min , ce qui est intéressant si on entraîne un alternateur.
La vitesse Ns devrait être :
1500 * racine(6800) /1000 ^1.25 =21.99 ce qui est  dans la gamme  des Pelton
Comme la vitesse linéaire est grosso mode la moitié de racine ( 2 *g *h) qui vaut ici 140 mètres/s notre roue tournera à 70 m/s soit un diamètre de 0.89 m

Pour la basse chute ,
Si on conservait la même vitesse de rotation on aurait un Ns de 6955 t/min absolument irréalisable .
Tournons 10 fois moins vite , soit 150 t/min , notre Ns sera de 700 ce qui est typique d'une hélice ou d'une Kaplan et on ne peut guère aller beaucoup plus loin

Pour entraîner notre alternateur il:nous faudra un multiplicateur de vitesse , ou faire construire un alternateur à 40 pôles , qui sera lourd et cher 

Le diamètre de la roue , obtenu par une formule approchée non donnée ici , est de 3.70 mètres

Pour faire une comparaison des prix il faudrait faire intervenir aussi celui des travaux de génie civil , légers pour la haute chute sauf ...une conduite forcée de 3000 mètres de long en montagne : ce n'est pas gratuit.
Mais la basse chute demande généralement un barrage onéreux et des fondations très sérieuses 

Les roues Francis ont des Ns compris entre 60 et 400 , leur aspect géométrique varie évidemment selon Ns.

UTILISATION D UNE MEME TURBINE SOUS DIFFERENTES CHUTES

Alors qu ' une roue de moulin est construite pour une chute bien déterminée , notamment le diamètre de la roue étant étroitement dépendant de la hauteur de chute , nous allons voir qu'il n'en est pas de même avec les turbines de type Francis et Hélice et même Pelton .

Ainsi un modèle de roue pourra être installé dans des chutes différentes ; un cas particulier est celui de l'exploitant qui achète une turbine déclassée pour la démonter et la réutiliser sous une autre chute.

Comme exemple , nous nous limiterons à de petites et moyennes puissance nous plaquant dans le cas favorable ou la turbine est en chambre d'eau ouverte .
Le cas d'une alimentation par bâche spirale est moins favorable, car la conduite d'amenée doit avoir un diamètre suffisant , de plus dès que  les chutes deviennent hautes des problèmes de résistance à la pression doivent être étudiés. 
Ceci concernera des chutes de 2 à 10 mètres environ et des puissances pouvant atteindre 5000 Kw mais cette limitation est un peu arbitraire.
Examinons comment vont varier les paramètres
Soit comme précédemment k le coefficient de proportionnalité
Les dimensions géométriques étant inchangées , toutes les vitesses ainsi que le débit sont affectés du coefficient racine(k)
La puissance sera donc affectée du coefficient k ^3/2 ou k ^1.5

Le tableau ci dessous nous indique la variation de ceux ci
Hauteur Vitesses lin. Débit T/min Puissance Vitesse Ns
k k^0.5 k^0.5 k^0.5 k ^1.5 1 (inchangée)
           

 Comme exemple numérique , partons d'une turbine installée dans une chute nommée Moulin 1 (3 m de chute ) et qu'on projette de réinstaller en  Moulin 2 (10 m de chute )
et trouver les résultats suivants à partir des paramètres (choisis arbitrairement ) de Moulin 1.
Désignation Chute Hauteur  Débit m3/s T/min Puissance CV Ns
Moulin 1 3 18 100 612 626
Coefficient k=3.333 1.8257 1.8257 6.086  
Moulin 2 10 32.76 182.7 3712 626
La puissance est la puissance utile avec rendement 0.85
Les paramètres suivent  la loi du tableau précédent .
On peut aussi tester cet exemple avec notre programme de calcul .

Bien entendu vu l'augmentation considérable de puissance du à un k que j'ai pris volontairement très élevé avec une valeur de 3.33 il faudra vérifier que toutes les pièces de la machine à la résistance mécanique (et en particulier le diamètre de l'arbre)
De plus l'aspirateur - diffuseur sera certainement à modifier.

L'intérêt de ce calcul est aussi de montrer que dans certains cas les constructeurs peuvent "recopier" des roues existantes , dont ils ont les modèles de fonderie , ce qui diminue évidemment le prix de la machine

AUTRE  PRESENTATION  DU PROBLEME

En allant vers cette page vous verrez une présentation un peu différente pour des résultats évidemment équivalents


Les limites de la similitude

Y a t'il une limite à la similitude ?
Oui .
La rugosité d'une surface est un élément physique indépendant de l'échelle du modèle.

La "peau" d'une turbine réelle peut être la même que celle du modèle réduit .
Ce qui contredit la loi de similitude.
Or , et notamment pour les machines rapides , la finesse de la surface a une grande importance , comme c'est le cas aussi en aérodynamique , par exemple.
Il en résulte que le rendement du modèle sera inférieur à celui de la machine réelle.
Nous verrons plus tard comment introduire un nombre dit nombre de Reynolds qui tient compte de la rugosité.


A suivre

(1) 
l'élévation d'un nombre à une puissance fractionnaire se fait facilement sur les calculatrices de type scientifique
A défaut , passer par les logarithmes, comme au bon vieux temps....

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